浅谈神经网络中的激活函数

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       激活函数是神经网络中一兩个 多重要的环节,本文将介绍为哪些神经网络网络要利用激活函数,几种常用的激活函数(逻辑函数Sigmoid、双曲正切函数tanh、线性整流函数(ReLU),神经网络中的梯度消失问题和ReLU如何处里梯度消失。

       导致 神经网络那末进行还可不能否提取非线性形态的卷积操作,因此该神经网络什么都 用激活函数,那末这些 神经网络第i层输出那末Wxi+b。一兩个 多多此神经网络不论有有十几个 层,第i层的输出一定会一兩个 多关于第i层输入xi的线性组合,大慨此时多层神经网络退化为一兩个 多多层的线性回归模型,难以学习如图像、音频、文本等冗杂数据的形态。

       正导致 这些 导致 ,神经网络要引入激活函数来给神经网络增加因此 非线性的形态,什么都目前常见的激活函数大多是非线性函数。一兩个 多多神经网络中下一层得到的输入不再是线性组合了。

2.1 逻辑函数Sigmoid [1]

       逻辑函数(logistic function)或逻辑曲线(logistic curve)是三种常见的S函数,它是皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒在1844或1845年在研究它与人口增长的关系时命名的。

       一兩个 多简单的Logistic函数表达式为:

\[ f\left( x \right) = \frac{1}{{1 + {e^{ - x}}}} \]



图1 标准逻辑函数的图像

       逻辑函数形如S,什么都通常也叫做S形函数。

       从函数图像易知f(x)的定义域为[-∞, +∞], 值域是(0,1)

       对f(x)求导数,易得

\[f'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{1 + {e^{ - x}}}}} \right)^\prime } = \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\;\; = f\left( x \right)\left( {1 - f\left( x \right)} \right)\]

2.2 双曲正切函数tanh [2]

       双曲正切函数是双曲函数的三种。在数学中,双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数。双曲正切函数的定义为

\[f\left( x \right) = \tanh \left( x \right) = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\]



图2 双曲正切函数的图像(同逻辑函数类似)

       从函数图像易知f(x)的定义域为[-∞, +∞], 值域是(-1,1)

       对f(x)求导数,易得

\[f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} \right)^\prime } = \frac{4}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\;\; = 1 - f{\left( x \right)^2}\]

2.3 线性整流函数ReLU [3]

       线性整流函数(Rectified Linear Unit, ReLU),又称修正线性单元, 是三种人工神经网络中常用的激活函数,通常指代以斜坡函数及其变种为代表的非线性函数。

       通常意义下,线性整流函数指代数学中的斜坡函数,即

\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} x\quad \quad x \ge 0 \\ 0\quad \quad x < 0 \\ \end{array} \right.\]



图3 ReLU函数图像

       从函数图像易知f(x)的定义域为[-∞, +∞], 值域是[0, +∞)

       对f(x)求导数,易得

\[f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1\quad \quad x \ge 0 \\ 0\quad \quad x < 0 \\ \end{array} \right.\]

       使用S形函数作为激活的神经网络中,随着神经网络的层数增加,神经网络上边层在梯度下降中求导的梯度几乎为0,从而导致 神经网络网络上边层的权值矩阵几乎无法更新。表现为随着隐藏层数目的增加,分类准确率反而下降了。这些 问题叫做消失的梯度问题。

       假设神经网络那末三层,用S型函数作为激活函数

       第一层输入为x, 输出为S(W1x+b1)

       第二层输入为S(W1x+b1),输出为S(W2S(W1x+b1)+b2)

       第三层输入为S(W2S(W1x+b1)+b2),输出为S(W3S(W2S(W1x+b1)+b2)+b3)

       一起去简记住每层在激活函数处里前的值为ai, 输出为fi

       假设最后损失函数为L,L是一兩个 多关于f3的函数,那末求导易得

\[\begin{array}{l} \frac{{\partial L}}{{\partial {W_1}}} = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S\left( {{W_3}S\left( {{W_2}S\left( {{W_1}x + {b_1}} \right) + {b_2}} \right) + {b_3}} \right)}}{{\partial {W_1}}} \\ \quad \quad = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}} \cdot \frac{{\partial {W_3}S\left( {{W_2}S\left( {{W_1}x + {b_1}} \right) + {b_2}} \right) + {b_3}}}{{\partial {W_1}}} \\ \quad \quad = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}} \cdot {W_3} \cdot \frac{{\partial S\left( {{W_2}S\left( {{W_1}x + {b_1}} \right) + {b_2}} \right)}}{{\partial {W_1}}} \\ \quad \quad = \cdots \\ \quad \quad = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}} \cdot {W_3} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_2}}} \cdot {W_2} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_1}}} \cdot \frac{{\partial {a_1}}}{{\partial {W_1}}} \\ \end{array}\]

       其中偏导数∂S/ ∂ai是造成梯度消失的导致 ,导致 S函数的导数阈值为

\[f'\left( x \right) = \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\;\; \in \left( {0,\left. {\frac{1}{4}} \right]} \right.\]

       即有0<∂S/ ∂a1≤0.25, 0<∂S/ ∂a2≤0.25, 0<∂S/ ∂3≤0.25, 在损失函数偏导表达式中一兩个 多偏导数相乘有:

\[0 < \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}}\frac{{\partial S}}{{\partial {a_2}}}\frac{{\partial S}}{{\partial {a_1}}} \le 0.015625\]

       一兩个 多多会减小损失函数的数值,导致 神经网络是20层,则有

\[0 < \frac{{\partial S}}{{\partial {a_{20}}}}\frac{{\partial S}}{{\partial {a_{19}}}} \cdots \frac{{\partial S}}{{\partial {a_1}}} \le {0.25^{20}} = {\rm{9}}.0{\rm{94}} \times {10^{ - 13}}\]

       这是一兩个 多更小的数,什么都神经网络后几层求第一层参数W1的梯度就非常小。而ReLU函数什么都 为了处里梯度消失问题,导致 ReLU求导那末一兩个 多值1或0,一兩个 多多搞笑的话可是我神经网络梯度中根小路径上的导数一定会1,那末无论网络有有十几个 层,网络后几层的梯度都还可不能否传播到网络前几层。

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function
  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Rectifier_(neural_networks)