JavaScript算法模式——动态规划和贪心算法

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  动态规划(Dynamic Programming,DP)是某种生活将冗杂问题分解成更小的子问题来补救的优化算法。下面有某些用动态规划来补救实际问题的算法:

大慨硬币找零

  给定一组硬币的面额,以及要找零的钱数,计算出符合找零钱数的大慨硬币数量。相似,美国硬币面额有1、5、10、25这个种生活面额,将会要找36美分的零钱,则得出的大慨硬币数应该是就让 我25美分、就让 我10美分和就让 我1美分大慨是硬币。这个算法要补救的就让 我诸没办法 类的问题。某些人来看看怎么能否用动态规划的土办法 来补救。

  对于每某种生活面额,某些人都分别计算所须要的硬币数量。具体算法如下:

  1. 将会删剪用1美分的硬币,一共须要36个硬币
  2. 将会用5美分的硬币,则须要7个5美分的硬币 + 就让 我1美分的硬币 = 8个硬币
  3. 将会用10美分的硬币,则须要二个10美分的硬币 + 就让 我5美分的硬币 + 就让 我1美分的硬币 = 二个硬币
  4. 将会用25美分的硬币,则须要就让 我25美分的硬币 + 就让 我10美分的硬币 + 就让 我1美分的硬币 = 二个硬币

  对应的示意图如下:

  方案4的硬币总数大慨,就让 为最优方案。

  具体的代码实现如下:

function minCoinChange(coins, amount) {
    let result = null;
    if (!amount) return result;

    const makeChange = (index, value, min) => {
        let coin = coins[index];
        let newAmount = Math.floor(value / coin);
        if (newAmount) min[coin] = newAmount;
        if (value % coin !== 0) {
            makeChange(--index, value - coin * newAmount, min);
        }
    };

    const arr = [];
    for (let i = 0; i < coins.length; i++) {
        const cache = {};
        makeChange(i, amount, cache);
        arr.push(cache);
    }

    console.log(arr);
    let newMin = 0;
    arr.forEach(item => {
        let min = 0;
        for (let v in item) min += item[v];
        if (!newMin || min < newMin) {
            newMin = min;
            result = item;
        }
    });
    return result;
}

  函数minCoinChange()接收一组硬币的面额,以及要找零的钱数。某些人将上端例子中的值传入:

const result = minCoinChange2([1, 5, 10, 25], 36);
console.log(result);

  得到如下结果:

[
  { '1': 36 },
  { '1': 1, '5': 7 },
  { '1': 1, '5': 1, '10': 3 },
  { '1': 1, '10': 1, '25': 1 }
]
{ '1': 1, '10': 1, '25': 1 }

  上端的数组是某些人在代码中打印出来的arr的值,用来展示某种生活不同面额的硬币作为找零硬币时,实际所须要的硬币种类和数量。最终,某些人会计算arr数组中硬币总数大慨的那个方案,作为minCoinChange()函数的输出。

  当然在实际应用中,某些人都须要把硬币抽象成任何你须要的数字,这个算法能给出你满足结果的最小组合。

背包问题

  背包问题是就让 我组合优化问题,它被描述为:给定就让 我具有固定容量的背包capacity,以及一组具有价值(value)和重量(weight)的物品,找出就让 我最优方案,使得插进背包的物品的总重量不超过capacity,且总价值最大。

  假设某些人有以下物品,且背包的总容量为5:

物品# 重量 价值
1 2 3
2 3 4
3 4 5

  某些人用矩阵来补救这个问题。首先,某些人把物品和背包的容量组成如下矩阵:

物品(i)/重量(w) 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 (w=2, v=3) 0 0

a: 3+[0][2-2]=3+0

b: [0][2]=0

max(3+0,0)=3

a: 3+[0][3-2]=3+0

b: [0][3]=0

max(3+0,0)=3

a: 3+[0][4-3]=3+0

b: [0][4]=0

max(3+0,0)=3

a: 3+[0][5-3]=3+0

b: [0][5]=0

max(3+0,0)=3

2 (w=3, v=4) 0 0 3

a: 4+[1][3-3]=4+0

b: [1][3]=3

max(4+0,3)=4

a: 4+[1][4-3]=4+0

b: [1][4]=3

max(4+0,3)=4

a: 4+[1][5-3]=4+3

b: [1][5]=3

max(4+3,3)=7

3 (w=4, v=5) 0 0 3 4

a: 5+[2][4-4]=5+0

b: [2][4]=4

max(5+0,4)=5

a: 5+[2][5-4]=5+0

b: [2][5]=7

max(5+0,7)=7

  为了便于理解,某些人将矩阵kS的第一列和第一行忽略(将会它们表示的是容量0和第0个物品)。就让 ,按照要求往矩阵的格子里填数。将会当前的格子能放下对应的物品,所处以下某种生活状态:

  • a - 插进当前物品,就让 剩余的重量再插进前就让 我物品
  • b - 不插进当前物品,插进前就让 我物品

  在上端的表格中,

  1. 当背包的重量为1时,没办法 物品能插进,某些都有0,这个很好理解。
  2. 当背包的重量为2时,物品1都须要插进,没办法 所处某种生活状态:插进物品1(价值为3),剩余的重量(背包的重量2减去物品1的重量2,结果为0)再插进前就让 我物品;不插进物品1,插进前就让 我物品[0][2],价值为0。某些最大价值就让 我max(3, 0)=3。
  3. ......
  4. 当背包的重量为5时,插进物品2,某种生活状态:插进物品2(价值为4),剩余的重量(背包的重量5减去物品2的重量3,结果为2)再插进前就让 我物品,是[1][2],对应的价值是3;不插进物品2,,插进前就让 我物品[1][5],价值为3。某些最大价值就让 我max(4+3, 3)=7。
  5. ......

  将会当前物品没办法 插进背包,则忽略它,用前就让 我值代替。某些人都须要按照上端描述的过程把剩余的格子都填满,另就让 我表格中最后就让 我单元格里的值就让 我最优方案。

  下面是具体的实现代码:

function knapSack(capacity, weights, values, n) {
    const kS = [];

    // 将ks初始化为就让

我空的矩阵
    for (let i = 0; i <= n; i++) {
        kS[i] = [];
    }

    for (let i = 0; i <= n; i++) {
        for (let w = 0; w <= capacity; w++) {
            // 忽略矩阵的第1列和第1行
            if (i === 0 || w === 0) {
                kS[i][w] = 0;
            }
            else if (weights[i - 1] <= w) {
                const a = values[i - 1] + kS[i - 1][w - weights[i - 1]];
                const b = kS[i - 1][w];
                kS[i][w] = Math.max(a, b);
            }
            else {
                kS[i][w] = kS[i - 1][w];
            }
        }
    }

    console.log(kS);
}

  对于const a,其价值分为两每项,第一每项就让 我它本人的价值(values[i - 1]),第二每项是用背包剩余的重量(w - weights[i - 1])插进前就让 我物品(kS[i - 1])。对于const b,就让 我找前就让 我能插进这个重量的物品(kS[i - 1][w])。就让 取这个种生活状态下的最大值。

  测试一下knapSack()函数,

const capacity = 5;
const weights = [2, 3, 4];
const values = [3, 4, 5];
knapSack(capacity, weights, values, weights.length);

  下面是矩阵kS的输出结果:

[
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 3, 3, 3, 3 ],
  [ 0, 0, 3, 4, 4, 7 ],
  [ 0, 0, 3, 4, 5, 7 ]
]

 最长公共子序列(LCS)

  找出就让 我字符串序列的最长子序列的长度。所谓最长子序列,是指就让 我字符串序列中以相同顺序老出,但从不求连续的字符串序列。相似下面就让 我字符串:

  字符串1:acbaed

  字符串2:abcadf

  则LCS为acad。

  和背包问题的思路相似,某些人用下面的表格来描述整个过程:

    a b c a d f
  0 0 0 0 0 0 0
a 0 1 1 1 1 1 1
c 0 1 1 2 2 2 2
b 0 1 2 2 2 2 2
a 0 1 2 2 3 3 3
e 0 1 2 2 3 3 3
d 0 1 2 2 3 4 4

  矩阵的第一行和第一列都被设置为0,剩余的每项,遵循下面某种生活状态:

  • 将会wordX[i - 1]和wordY[j - 1]相等,则矩阵对应的单元格的值为单元格[i - 1][j - 1]的值加1。
  • 将会wordX[i - 1]和wordY[j - 1]不相等,则找出单元格[i - 1][j]和单元格[i][j - 1]之间的最大值。

  下面是具体的实现代码:

function lcs(wordX, wordY) {
    const m = wordX.length;
    const n = wordY.length;
    const l = [];
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        l[i] = [];
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            l[i][j] = 0;
        }
    }
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            if (i === 0 || j === 0) {
                l[i][j] = 0;
            } else if (wordX[i - 1] === wordY[j - 1]) {
                l[i][j] = l[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                const a = l[i - 1][j];
                const b = l[i][j - 1];
                l[i][j] = Math.max(a, b);
            }
        }
    }
    console.log(l);
    console.log(l[m][n]);
}

  某些人将矩阵打印出来,结果如下:

const wordX = ['a', 'c', 'b', 'a', 'e', 'd'];
const wordY = ['a', 'b', 'c', 'a', 'd', 'f'];
lcs(wordX, wordY);
[
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
  [ 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 3, 4, 4 ]
]
4

   矩阵中最后就让 我单元格的值为LCS的长度。那怎么能否计算出LCS的具体内容呢?某些人都须要设计就让 我相同的solution矩阵,用来做标记,将会wordX[i - 1]和wordY[j - 1]相等,则将solution矩阵中对应的值设置为'diagonal',即上端表格中背景为灰色的单元格。就让 ,根据[i][j]和[i - 1][j]否有相等标记为'top'或'left'。就让 通过printSolution()土办法 来找出LCS的内容。修改之前 的代码如下:

function printSolution(solution, wordX, m, n) {
    let a = m;
    let b = n;
    let x = solution[a][b];
    let answer = '';
    while (x !== '0') {
        if (solution[a][b] === 'diagonal') {
            answer = wordX[a - 1] + answer;
            a--;
            b--;
        } else if (solution[a][b] === 'left') {
            b--;
        } else if (solution[a][b] === 'top') {
            a--;
        }
        x = solution[a][b];
    }
    return answer;
}

function lcs(wordX, wordY) {
    const m = wordX.length;
    const n = wordY.length;
    const l = [];
    const solution = [];
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        l[i] = [];
        solution[i] = [];
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            l[i][j] = 0;
            solution[i][j] = '0';
        }
    }
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            if (i === 0 || j === 0) {
                l[i][j] = 0;
            } else if (wordX[i - 1] === wordY[j - 1]) {
                l[i][j] = l[i - 1][j - 1] + 1;
                solution[i][j] = 'diagonal';
            } else {
                const a = l[i - 1][j];
                const b = l[i][j - 1];
                l[i][j] = Math.max(a, b);
                solution[i][j] = l[i][j] === l[i - 1][j] ? 'top' : 'left';
            }
        }
    }

    return printSolution(solution, wordX, m, n);
}

  测试结果:

const wordX = ['a', 'c', 'b', 'a', 'e', 'd'];
const wordY = ['a', 'b', 'c', 'a', 'd', 'f'];
console.log(lcs(wordX, wordY)); // acad

   贪心算法遵循某种生活近似补救问题的技术,期盼通过每个阶段的局部最优选者,从而达到全局的最优。它不像动态规划算法那样计算更大的格局。

大慨硬币找零

  某些人来看看怎么能否用贪心算法补救前面提到过的大慨硬币找零问题。

function minCoinChange(coins, amount) {
    const change = [];
    let total = 0;
    for (let i = coins.length - 1; i >= 0; i--) {
        const coin = coins[i];
        while (total + coin <= amount) {
            change.push(coin);
            total += coin;
        }
    }
    return change;
}

const result = minCoinChange([1, 5, 10, 25], 36);
console.log(result); // [ 25, 10, 1 ]

  前提是coins数组将会按从小到大排好序了,贪心算法从最大值开使英语 英语 尝试,将会该值不满足条件(要找零的钱数),则继续向下找,直到找到满足条件的所有值。以上算法从没办法 满足所有状态下找出最优方案,相似下面这个状态:

const result = minCoinChange([1, 2, 5, 9, 10], 18);
console.log(result); // [ 10, 5, 2, 1 ]

  给出的结果[10, 5, 2, 1]并都有最优方案,最优方案应该是[9, 9]。

  与动态规划相比,贪心算法更简单、传输速率更高。就让 其结果从不老会 最理想的。就让 综合看来,它相对执行时间来说,输出就让 我都须要接受的结果。

背包问题

物品# 重量 价值
1 2 3
2 3 4
3 4 5

  在动态规划的例子里,假定背包的容量为5,最佳方案是往背包里插进物品1和物品2,总价值为7。在贪心算法中,某些人须要考虑分数的状态,假定背包的容量为6,插进物品1和物品2之前 ,剩余容量为1,都须要插进1/4的物品3,总价值为3+4+0.25×5=8.25。某些人来看看具体的实现代码:

function knapSack(capacity, weights, values) {
    const n = values.length;
    let load = 0;
    let val = 0;
    for (let i = 0; i < n && load < capacity; i++) {
        if (weights[i] <= capacity - load) {
            val += values[i];
            load += weights[i];
            console.log(`物品${i + 1},重量:${weights[i]},价值:${values[i]}`);
        } else {
            const r = (capacity - load) / weights[i];
            val += r * values[i];
            load += weights[i];
            console.log(`物品${i + 1}的${r},重量:${r * weights[i]},价值:${val}`);
        }
    }

    return val;
}

  从第就让 我物品开使英语 英语 遍历,将会总重量小于背包的容量,则继续迭代,插进物品。将会物品都须要删剪地插进背包,则将其价值和重量分别计入到变量val和load中,一块儿打印插进物品的信息。将会物品没办法 删剪地插进背包,计算太久再 插进的比例r,就让 将这个比例所对应的价值和重量分别计入到变量val和load中,一块儿打印物品的信息。最终输出总的价值val。下面是测试结果:

const capacity = 6;
const weights = [2, 3, 4];
const values = [3, 4, 5];
console.log(knapSack(capacity, weights, values));
物品1,重量:2,价值:3
物品2,重量:3,价值:4
物品3的0.25,重量:1,价值:8.25
8.25

  在动态规划算法中,将会将背包的容量也设定为6,计算结果则为8。

最长公共子序列(LCS)

  最后某些人再来看看怎么能否用贪心算法补救LCS的问题。下面的代码返回了就让 我给定数组中的LCS的长度:

function lcs(wordX, wordY, m = wordX.length, n = wordY.length) {
    if (m === 0 || n === 0) {
        return 0;
    }
    if (wordX[m - 1] === wordY[n - 1]) {
        return 1 + lcs(wordX, wordY, m - 1, n - 1);
    }
    const a = lcs(wordX, wordY, m, n - 1);
    const b = lcs(wordX, wordY, m - 1, n);
    return a > b ? a : b;
}

const wordX = ['a', 'c', 'b', 'a', 'e', 'd'];
const wordY = ['a', 'b', 'c', 'a', 'd', 'f'];
console.log(lcs(wordX, wordY)); // 4